내 대답은 꽤 길기 때문에 세 부분으로 나눕니다. 문제는 부동 소수점 수학에 관한 것이므로 기계가 실제로하는 일에 중점을 둡니다. 또한 두 배 (64 비트) 정밀도로 특정화했지만 인수는 모든 부동 소수점 산술에 동일하게 적용됩니다.

전문

IEEE 754 배정도 이진 부동 소수점 포맷 (binary64)는 숫자 형식의 수를 나타낸다

값 = (-1) ^ s * (1.m ₅₁ m ₅₀ … m ₂ m ₁ m ₀ ) ₂ * 2 ^e-1023

64 비트로 :

• 첫 번째 비트는 부호 비트입니다 . 1숫자가 음수이면 0그렇지 않으면 ¹ 입니다.
• 다음 11 비트는 지수 이며 1023 으로 오프셋 됩니다. 즉, 배정 밀도 숫자에서 지수 비트를 읽은 후 2의 거듭 제곱을 얻으려면 1023을 빼야합니다.
• 나머지 52 비트는 유효 (또는 가수)입니다. 가수에서 ‘임시적’ 1.은 ² 진수 값의 최상위 비트 가이므로 항상 ^2를 생략합니다 1.

¹ – IEEE 754는의 개념을 허용 제로 서명 – +0와 -0다르게 취급된다 : 1 / (+0)무한대입니다; 1 / (-0)음의 무한대입니다. 0 값의 경우 가수 및 지수 비트는 모두 0입니다. 참고 : 0 값 (+0 및 -0)은 명시 적으로 비정규 ² 로 분류되지 않습니다 .

^2- 오프셋 지수가 0이고 암시적인 비정규 숫자 의 경우에는 해당되지 않습니다 0.. 비정규 배정 밀도 숫자의 범위는 d _min ≤ | x | ≤ d _max , 여기서 d _min (가장 작은 숫자가 아닌 가장 작은 숫자)는 ^2-1023-51 (≈ 4.94 * ^10-324 )이고 d _max (가장 큰 수가 비정규 수이며 가수가 전체적으로 1s로 ^구성됨 )는 ^{2-1023입니다 + 1} – 2 ^{-1023 – 51} (* 10 ≈ 2.225 ^-308 ).

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배정도 숫자를 이진수로 바꾸기

배정도 부동 소수점 숫자를 이진수로 변환하는 많은 온라인 변환기가 존재 하지만 (예 : binaryconvert.com ) 배정도 숫자에 대한 IEEE 754 표현을 얻기위한 샘플 C # 코드가 있습니다 (세 부분을 콜론 ( :) 으로 구분 ) :

public static string BinaryRepresentation(double value)
{
    long valueInLongType = BitConverter.DoubleToInt64Bits(value);
    string bits = Convert.ToString(valueInLongType, 2);
    string leadingZeros = new string('0', 64 - bits.Length);
    string binaryRepresentation = leadingZeros + bits;

    string sign = binaryRepresentation[0].ToString();
    string exponent = binaryRepresentation.Substring(1, 11);
    string mantissa = binaryRepresentation.Substring(12);

    return string.Format("{0}:{1}:{2}", sign, exponent, mantissa);
}

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요점 파악 : 원래 질문

(TL; DR 버전의 하단으로 건너 뛰기)

Cato Johnston (질문자)은 왜 0.1 + 0.2! = 0.3인지 물었습니다.

이진수로 작성 (콜론으로 세 부분을 분리)하면 IEEE 754 값은 다음과 같습니다.

0.1 => 0:01111111011:1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 0:01111111100:1001100110011001100110011001100110011001100110011010

가수는의 반복 자릿수로 구성 0011됩니다. 이것은 계산에 오류가있는 이유의 핵심입니다 -0.1, 0.2 및 0.3은 1 / 9, 1/3 또는 1/7을 초과 하는 유한 수의 이진 비트로 정확하게 이진수로 표현 될 수 없습니다 . 십진수 .

또한 지수의 거듭 제곱을 52만큼 줄이고 이진 표현의 점을 52 자리만큼 오른쪽으로 옮길 수 있습니다 ( ^10-3 * 1.23 == ^10-5 * 123 과 유사 ). 그러면 이진 표현을 a * 2 ^p 형식으로 나타내는 정확한 값으로 표현할 수 있습니다. 여기서 ‘a’는 정수입니다.

지수를 10 진수로 변환하고 오프셋을 제거하고 암시 적 1(대괄호로 표시)을 다시 추가하면 0.1과 0.2는 다음과 같습니다.

0.1 => 2^-4 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2 => 2^-3 * [1].1001100110011001100110011001100110011001100110011010
or
0.1 => 2^-56 * 7205759403792794 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794 = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125

두 개의 숫자를 더하려면 지수는 동일해야합니다.

0.1 => 2^-3 *  0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101(0)
0.2 => 2^-3 *  1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
sum =  2^-3 * 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
or
0.1 => 2^-55 * 3602879701896397  = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.2 => 2^-55 * 7205759403792794  = 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125
sum =  2^-55 * 10808639105689191 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875

합이 2 ⁿ * 1. {bbb} 형식이 아니므로 지수를 1 씩 증가시키고 소수 ( binary ) 점을 이동하여 다음을 얻습니다.

sum = 2^-2  * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)
    = 2^-54 * 5404319552844595.5 = 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875

가수에 53 비트가 있습니다 (53 번째는 위의 꺾쇠 괄호 안에 있음). IEEE 754 의 기본 반올림 모드 는 ‘ 가장 반올림 ‘입니다. 즉, 숫자 x 가 두 값 a 와 b 사이에 있으면 최하위 비트가 0 인 값이 선택됩니다.

a = 2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875
  = 2^-2  * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011

x = 2^-2  * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011(1)

b = 2^-2  * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
  = 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125

참고 와 B가 마지막 비트 다르다; + = . 이 경우 최하위 비트가 0 인 값은 b 이므로 합은 다음과 같습니다....00111...0100

sum = 2^-2  * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
    = 2^-54 * 5404319552844596 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125

0.3의 이진 표현은 다음과 같습니다.

0.3 => 2^-2  * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011
    =  2^-54 * 5404319552844595 = 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875

이는 0.1과 0.2의 합을 ^2-54 의 이진수 표현과 만 다릅니다 .

0.1과 0.2의 이진 표현은 IEEE 754가 허용하는 숫자를 가장 정확하게 표현한 것입니다. 기본 반올림 모드로 인해 이러한 표현을 추가하면 최하위 비트에서만 다른 값이 생성됩니다.

TL; DR

0.1 + 0.2IEEE 754 이진 표현으로 작성 하고 (세 부분을 구분하는 콜론으로) 이것을 (와 비교하면) 0.3구별 된 비트를 대괄호로 묶었습니다.

0.1 + 0.2 => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[100]
0.3       => 0:01111111101:0011001100110011001100110011001100110011001100110[011]

십진수로 다시 변환하면이 값은 다음과 같습니다.

0.1 + 0.2 => 0.300000000000000044408920985006...
0.3       => 0.299999999999999988897769753748...

차이는 정확히 2 ^-54 5.5511151231258 × 10 ~ 인 ^-17 원래 값에 비해 미미한는 (많은 애플리케이션) -.

부동 소수점 숫자의 마지막 몇 비트를 비교하는 것은 본질적으로 ” 모든 컴퓨터 과학자가 부동 소수점 산술에 대해 알아야 할 것 “(이 답변의 모든 주요 부분을 다루고 있음) 을 읽는 사람이 알듯이 본질적으로 위험 합니다.

대부분의 계산기는 이 문제를 해결하기 위해 추가 가드 숫자 를 사용합니다. 이 방법 0.1 + 0.2은 0.3마지막 몇 비트가 반올림됩니다.

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