[haskell] 모나드가 컴포지션에서 닫히지 않음을 보여주는 구체적인 예 (증거 포함)?

모나드와 동형 인 다음 모나드를 고려하십시오 (Bool ->).

data Pair a = P a a

instance Functor Pair where
  fmap f (P x y) = P (f x) (f y)

instance Monad Pair where
  return x = P x x
  P a b >>= f = P x y
    where P x _ = f a
          P _ y = f b

Maybe모나드로 구성합니다 .

newtype Bad a = B (Maybe (Pair a))

나는 그것이 Bad모나드가 될 수 없다고 주장합니다 .

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부분 증명 :

다음 fmap을 충족시키는 정의 하는 방법은 하나뿐입니다 fmap id = id.

instance Functor Bad where
    fmap f (B x) = B $ fmap (fmap f) x

모나드 법칙을 상기하십시오.

(1) join (return x) = x
(2) join (fmap return x) = x
(3) join (join x) = join (fmap join x)

의 정의 return x에는 두 가지 선택이 있습니다. B Nothing또는 B (Just (P x x)). x(1)과 (2)에서 돌아올 희망을 가지려면 버릴 수 없으므로 x두 번째 옵션을 선택해야합니다.

return' :: a -> Bad a
return' x = B (Just (P x x))

그게 떠난다 join. 가능한 입력이 적기 때문에 각각에 대해 케이스를 만들 수 있습니다.

join :: Bad (Bad a) -> Bad a
(A) join (B Nothing) = ???
(B) join (B (Just (P (B Nothing)          (B Nothing))))          = ???
(C) join (B (Just (P (B (Just (P x1 x2))) (B Nothing))))          = ???
(D) join (B (Just (P (B Nothing)          (B (Just (P x1 x2)))))) = ???
(E) join (B (Just (P (B (Just (P x1 x2))) (B (Just (P x3 x4)))))) = ???

출력 형식을 갖기 때문에 Bad a, 유일한 옵션은 B Nothing또는 B (Just (P y1 y2))여기서 y1, y2로부터 선택되어야한다 x1 ... x4.

(A)와 (B)의 경우에는 type 값이 없으므로 두 경우 모두 a반환해야합니다 B Nothing.

사례 (E)는 (1) 및 (2) 모나드 법칙에 의해 결정됩니다.

-- apply (1) to (B (Just (P y1 y2)))
join (return' (B (Just (P y1 y2))))
= -- using our definition of return'
join (B (Just (P (B (Just (P y1 y2))) (B (Just (P y1 y2))))))
= -- from (1) this should equal
B (Just (P y1 y2))

반환하기 위해 B (Just (P y1 y2))케이스 (E)에서,이 방법은 우리가 선택해야 y1하나에서 x1나 x3, 그리고 y2에서 하나 x2또는 x4.

-- apply (2) to (B (Just (P y1 y2)))
join (fmap return' (B (Just (P y1 y2))))
= -- def of fmap
join (B (Just (P (return y1) (return y2))))
= -- def of return
join (B (Just (P (B (Just (P y1 y1))) (B (Just (P y2 y2))))))
= -- from (2) this should equal
B (Just (P y1 y2))

마찬가지로, 이것은 우리가 선택해야한다고 말한다 y1하나에서 x1나 x2, 그리고 y2에서 하나 x3또는 x4. 두 가지를 결합하여 (E)의 오른쪽이이어야 함을 결정합니다 B (Just (P x1 x4)).

지금까지는 모두 좋지만 (C)와 (D)의 오른쪽을 채우려 고 할 때 문제가 발생합니다.

각각에 대해 5 개의 가능한 오른편이 있으며 어떤 조합도 작동하지 않습니다. 아직 이에 대한 좋은 주장은 없지만 모든 조합을 철저히 테스트하는 프로그램이 있습니다.

{-# LANGUAGE ImpredicativeTypes, ScopedTypeVariables #-}

import Control.Monad (guard)

data Pair a = P a a
  deriving (Eq, Show)

instance Functor Pair where
  fmap f (P x y) = P (f x) (f y)

instance Monad Pair where
  return x = P x x
  P a b >>= f = P x y
    where P x _ = f a
          P _ y = f b

newtype Bad a = B (Maybe (Pair a))
  deriving (Eq, Show)

instance Functor Bad where
  fmap f (B x) = B $ fmap (fmap f) x

-- The only definition that could possibly work.
unit :: a -> Bad a
unit x = B (Just (P x x))

-- Number of possible definitions of join for this type. If this equals zero, no monad for you!
joins :: Integer
joins = sum $ do
  -- Try all possible ways of handling cases 3 and 4 in the definition of join below.
  let ways = [ \_ _ -> B Nothing
             , \a b -> B (Just (P a a))
             , \a b -> B (Just (P a b))
             , \a b -> B (Just (P b a))
             , \a b -> B (Just (P b b)) ] :: [forall a. a -> a -> Bad a]
  c3 :: forall a. a -> a -> Bad a <- ways
  c4 :: forall a. a -> a -> Bad a <- ways

  let join :: forall a. Bad (Bad a) -> Bad a
      join (B Nothing) = B Nothing -- no choice
      join (B (Just (P (B Nothing) (B Nothing)))) = B Nothing -- again, no choice
      join (B (Just (P (B (Just (P x1 x2))) (B Nothing)))) = c3 x1 x2
      join (B (Just (P (B Nothing) (B (Just (P x3 x4)))))) = c4 x3 x4
      join (B (Just (P (B (Just (P x1 x2))) (B (Just (P x3 x4)))))) = B (Just (P x1 x4)) -- derived from monad laws

  -- We've already learnt all we can from these two, but I decided to leave them in anyway.
  guard $ all (\x -> join (unit x) == x) bad1
  guard $ all (\x -> join (fmap unit x) == x) bad1

  -- This is the one that matters
  guard $ all (\x -> join (join x) == join (fmap join x)) bad3

  return 1

main = putStrLn $ show joins ++ " combinations work."

-- Functions for making all the different forms of Bad values containing distinct Ints.

bad1 :: [Bad Int]
bad1 = map fst (bad1' 1)

bad3 :: [Bad (Bad (Bad Int))]
bad3 = map fst (bad3' 1)

bad1' :: Int -> [(Bad Int, Int)]
bad1' n = [(B Nothing, n), (B (Just (P n (n+1))), n+2)]

bad2' :: Int -> [(Bad (Bad Int), Int)]
bad2' n = (B Nothing, n) : do
  (x, n')  <- bad1' n
  (y, n'') <- bad1' n'
  return (B (Just (P x y)), n'')

bad3' :: Int -> [(Bad (Bad (Bad Int)), Int)]
bad3' n = (B Nothing, n) : do
  (x, n')  <- bad2' n
  (y, n'') <- bad2' n'
  return (B (Just (P x y)), n'')