어드민

바이너리로 진행되는 일이 있습니다. 우리가 알다시피, 일부 부동 소수점 값은 정확히 10 진수로 표현 될 수 있다고하더라도 바이너리로 정확하게 표현 될 수 없습니다. 이 세 숫자는 그 사실의 예일뿐입니다.

이 프로그램으로 각 숫자의 16 진수 표현과 각 덧셈의 결과를 출력했습니다.

public class Main{
   public static void main(String args[]) {
      double x = 23.53;   // Inexact representation
      double y = 5.88;    // Inexact representation
      double z = 17.64;   // Inexact representation
      double s = 47.05;   // What math tells us the sum should be; still inexact

      printValueAndInHex(x);
      printValueAndInHex(y);
      printValueAndInHex(z);
      printValueAndInHex(s);

      System.out.println("--------");

      double t1 = x + y;
      printValueAndInHex(t1);
      t1 = t1 + z;
      printValueAndInHex(t1);

      System.out.println("--------");

      double t2 = x + z;
      printValueAndInHex(t2);
      t2 = t2 + y;
      printValueAndInHex(t2);
   }

   private static void printValueAndInHex(double d)
   {
      System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
   }
}

이 printValueAndInHex방법은 16 진수 프린터 도우미입니다.

출력은 다음과 같습니다.

403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004

처음 4 개 번호는 x, y, z, 및 s의 진수 표현. IEEE 부동 소수점 표현에서 비트 2-12는 이진 지수 즉 숫자의 스케일을 나타냅니다 . (첫 번째 비트는 부호 비트이고, 가수에 대한 나머지 비트입니다 .) 표현 된 지수는 실제로 이진수에서 1023을 뺀 것입니다.

처음 4 개의 지수가 추출됩니다.

    sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

추가의 첫 세트

두 번째 숫자 ( y)는 더 작은 크기입니다. 를 얻기 위해이 두 숫자를 더할 때 두 x + y번째 숫자 ( 01) 의 마지막 2 비트 가 범위를 벗어나 계산에 포함되지 않습니다.

제 첨가 추가 x + y와 z같은 규모의 두 숫자를 추가한다.

추가의 두 번째 세트

여기서 x + z먼저 발생합니다. 그것들은 같은 규모이지만, 규모가 더 높은 숫자를 산출합니다.

404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5

제 첨가를 추가 x + z하고 y, 현재 3 비트로부터 삭제되는 y숫자를 추가 ( 101). 결과는 다음 부동 소수점 수이기 때문에 위쪽으로 반올림되어야합니다 4047866666666666. 첫 번째 덧셈 4047866666666667세트와 두 번째 덧셈 세트의 결과입니다. 이 오류는 총계의 출력물에 표시하기에 충분히 중요합니다.

결론적으로 IEEE 숫자에 대해 수학 연산을 수행 할 때주의하십시오. 일부 표현은 정확하지 않으며 스케일이 다르면 훨씬 더 정확하지 않습니다. 가능하면 비슷한 규모의 숫자를 더하고 빼십시오.

답변

x1 = (a - b) + (c - d) + (e - f) + (g - h);

x2 = (a + c + e + g) - (b + d + f + h);

x3 = a - b + c - d + e - f + g - h;

A + B = E
E + C = D(1)

A + C = F
F + B = D(2)