어드민

( 정답과 수학적 무결성-이 “답변”에 대한 투표 수가 주어진 경우이 답변을 편집하게되었습니다. 모든 설명은 그 목적과 반대되는 것처럼 보였지만, 의견은 오해를 피하기 위해 분명해야한다는 것을 분명히하고 있습니다. )

내 원래 답변 :

이 사양의이 부분의 표현 :

0이면 1로 설정하고, 그렇지 않으면 0으로 설정하고 싶습니다.

가장 정확한 해결책은 다음과 같습니다.

v = dirac_delta(0,v)

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첫째, 고백 : 나는 않았다 내 델타 기능이 혼란스러워. 크로네 커 델타는 약간 더 적합했지만 도메인 독립적 인 것을 원했던 것만 큼 크지는 않았습니다 (크로네 커 델타는 주로 정수에만 사용됩니다). 그러나 델타 함수를 전혀 사용해서는 안됩니다.

v = characteristic_function({0},v)

명확히하겠습니다. 회상 것이 함수 인 트리플, (X, Y, F) 여기서, X 및 Y는 세트 (착신있는 도메인 과 공역 각각) 및 F 규칙임을 양수인의 원소 Y 의 각 원소 X . 우리는 종종 트리플 (X, Y, f) 을 f : X → Y 로 씁니다 . X 의 부분 집합 ( 예 : A )이 주어지면 함수 χ _{A 인} 특성 함수 가 있습니다. : X → {0,1} 인(또한 ℕ 또는 ℝ와 같은 더 큰 공동 도메인에 대한 함수로 생각할 수 있습니다). 이 기능은 다음 규칙에 의해 정의됩니다.

χ (X) = 1 의 경우 X ∈ 및 χ (X) = 0 인 경우 X ∉ .

진리표를 좋아하는 경우 ” X 의 요소 x 가 서브 세트 A 의 요소 입니까?” 라는 질문에 대한 진리표 입니다.

따라서이 정의에서 X 가 0과 A = {0}을 포함하는 큰 집합을 갖는 특성 함수가 여기에 필요한 것임이 분명합니다 . 그게 내가 무엇을 해야 작성했습니다.

델타 함수도 마찬가지입니다. 이를 위해서는 통합에 대해 알아야합니다. 이미 알고 있거나 모르고 있습니다. 당신이 그렇지 않다면, 내가 여기서 말할 수있는 것은 이론의 복잡성에 대해 말해 줄 수 없지만, 나는 한 문장 요약을 줄 수 있습니다. 측정 세트에 X는 “평균 작업을 할 필요가있는 것을”본질이다. 즉, 우리가 세트 X 와 그 세트에 측정 값 μ 를 가지고 있다면 , 함수 ∫ _X f dμ 가 의미가 있고 다소 모호한 의미 를 갖는 측정 가능한 함수 라 불리는 함수 클래스 → → ℝ 가 있습니다. 의 “평균” F 를 통해 X .

집합에 대한 측정이 주어지면 해당 집합의 하위 집합에 대한 “측정”을 정의 할 수 있습니다. 이는 특성 함수의 적분을 서브 세트에 지정하여 수행됩니다 (측정 가능한 함수라고 가정). 이것은 무한하거나 정의되지 않을 수 있습니다 (두 개는 미묘하게 다릅니다).

주위에 많은 조치가 있지만 여기서 중요한 두 가지가 있습니다. 하나는 실선 의 표준 척도 입니다. 이 측정을 위해 ∫ _ℝ f dμ 는 학교에서 가르치는 것과 거의 비슷합니다 (미적분학은 학교에서 여전히 가르치고 있습니까?) : 작은 사각형을 요약하고 너비를 더 작고 작게 만듭니다. 이 측정에서 간격의 측정은 너비입니다. 점의 측정 값은 0입니다.

모든 세트에서 작동하는 또 다른 중요한 측정을 포인트 측정 이라고합니다 . 함수의 적분이 값 의 합 이되도록 정의 됩니다.

∫ _X f dμ = ∑ _{x ∈X} f (x)

이 측정 값은 측정 값 1을 설정하는 각 싱글 톤에 할당됩니다. 이는 부분 집합 자체가 유한 한 경우에만 유한 측정 값을 가짐을 의미합니다 . 그리고 유한 적분을 갖는 함수는 거의 없습니다. 함수가 유한 적분을 갖는 경우, 계산 가능한 수의 포인트 에서만 0이 아니어야합니다 . 따라서 아마도 당신이 알고있는 대부분의 함수는이 측정에서 유한 적분을 갖지 않습니다.

그리고 이제 델타 함수입니다. 매우 광범위한 정의를 봅시다. 우리는 측정 가능한 공간 (X, μ) (따라서 측정 된 세트입니다)과 요소 a ∈ X가 있습니다. 우리는 “정의” 델타 함수 (에 따라 은 “기능”으로) δ X → ℝ : 그 속성 δ (X)은 = 0 의 경우 , X ≠ 조건 및 ∫ _X δ dμ = 1 .

이것에 대한 가장 중요한 사실은 이것입니다. 델타 함수 는 함수일 필요는 없습니다 . 그것은되어 있지 제대로 정의 : 나는 무엇을 말했다하지 않은 Δ (A)가 있다.

이 시점에서 수행하는 작업은 자신이 누구인지에 따라 다릅니다. 여기서 세계는 두 가지 범주로 나뉩니다. 수학자라면 다음과 같이 말합니다.

델타 함수가 정의되지 않았을 수 있습니다. 이 곳에 우리가 그것을 위해 적절한 가정을 찾을 수 있는지 보자는 가상의 속성을보고는 볼 수 있다 정의했다. 우리는 그렇게 할 수 있으며, 결국 배포판으로 끝납니다 . 이들은 하지 (필요) 기능,하지만 것들있는 기능 같은 작은, 그들은 기능 것처럼 종종 우리가 그들과 함께 작업 할 수 동작 해 그러나 그들이 가지고 있지 않은 것들 (예 : “값”)이 있으므로주의해야합니다.

수학자가 아닌 경우 다음과 같이 말합니다.

델타 함수가 올바르게 정의되지 않았을 수 있습니다. 누가 그렇게 말합니까? 많은 수학자? 그들을 무시하라! 그들은 무엇을 알고 있습니까?

이제 청중의 기분을 상하게 한 후에 계속하겠습니다.

디 라크 델타 는 일반적으로 표준 측정을 사용하여 실제 라인에서 점 (보통 0)의 델타 함수로 간주됩니다. 그래서 델타를 모르는 것에 대한 의견을 불평하는 사람들은이 정의를 사용하고 있기 때문에 그렇게하고 있습니다. 그들에게 사과합니다. 비록 수학자의 방어 를 사용하여 (혹은 덤프 티 (Humpty Dumpty)에 의해 대중화됨에 따라 간단하게 모든 것을 재정의 할 수 있습니다.) 다른 것을 의미하는 표준 용어를 사용하는 것은 좋지 않습니다.

그러나이 있다 내가하고 싶은 그것이 내가 여기에서 필요로하는 것입니다 일을 수행하는 델타 기능. 내가 가지고가는 경우에 포인트 측정 세트에 X 다음이 있다 진정한 기능 δ X → ℝ : 어떤 만족 델타 기능에 대한 기준은. 우리는 함수를 찾고 있기 때문입니다 X → ℝ 에서 제외 제로입니다 등의 모든 값의 합이 1 이러한 기능은 간단입니다 : 정보의 유일한 누락 된 부분이 자사의 값 하고, 합계가 1이 되려면 값 1을 할당하면됩니다. 이것은 {a} 의 특성 함수 외에는 없습니다 . 그때:

∫ _X δ _a dμ = ∑ _{x ∈ X} δ _a (x) = δ _a (a) = 1

따라서이 경우 싱글 톤 세트의 경우 특성 함수와 델타 함수가 일치합니다.

결론적으로 여기에는 “기능”의 세 가지 패밀리가 있습니다.

1. 싱글 톤 세트의 특징적인 기능
2. 델타 함수
3. 크로네 커 델타 기능.

두 번째 는 포인트 측정을 사용할 때 다른 것 중 하나이므로 가장 일반적입니다. 그러나 첫 번째와 세 번째는 항상 진정한 기능이라는 이점이 있습니다. 세 번째는 실제로 특정 도메인 계열 (정수 또는 일부 하위 집합)에 대한 첫 번째의 특별한 경우입니다.

내가 원래 내가 대답 쓴 때, 마지막으로 되지 않았습니다 제대로 생각을 (내가 한 말하도록 멀리 가지 않을 것 혼동 난 그냥 입증 한 희망으로, 않습니다 내가 때 무슨 말인지 알 나는 실제로 먼저 생각합니다.별로 생각하지 않았습니다). 디락 델타의 일반적인 의미는 여기서 원하는 것이 아니지만, 제 대답의 요점 중 하나는 입력 도메인이 정의 되지 않았기 때문에 크로네 커 델타도 옳지 않을 것입니다. 따라서 최고의 수학 답변 (목표로 삼 았던)은 특징적인 기능이었습니다.

나는 그것이 모두 분명하기를 바랍니다. 또한 TeX 매크로 대신 HTML 엔터티를 사용하여 수학 조각을 다시 작성할 필요가 없기를 바랍니다.

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