[haskell] 이 GHC 핵심 “증거”를 읽는 방법?

GHC가 자연수의 경우 짝수를 반으로 만 줄일 수 있음을 어떻게 증명하는지 알아 내기 위해이 작은 하스켈을 썼습니다.

{-# LANGUAGE DataKinds, GADTs, KindSignatures, TypeFamilies #-}
module Nat where

data Nat = Z | S Nat

data Parity = Even | Odd

type family Flip (x :: Parity) :: Parity where
  Flip Even = Odd
  Flip Odd  = Even

data ParNat :: Parity -> * where
  PZ :: ParNat Even
  PS :: (x ~ Flip y, y ~ Flip x) => ParNat x -> ParNat (Flip x)

halve :: ParNat Even -> Nat
halve PZ     = Z
halve (PS a) = helper a
  where helper :: ParNat Odd -> Nat
        helper (PS b) = S (halve b)

핵심의 관련 부분은 다음과 같습니다.

Nat.$WPZ :: Nat.ParNat 'Nat.Even
Nat.$WPZ = Nat.PZ @ 'Nat.Even @~ <'Nat.Even>_N

Nat.$WPS
  :: forall (x_apH :: Nat.Parity) (y_apI :: Nat.Parity).
     (x_apH ~ Nat.Flip y_apI, y_apI ~ Nat.Flip x_apH) =>
     Nat.ParNat x_apH -> Nat.ParNat (Nat.Flip x_apH)
Nat.$WPS =
  \ (@ (x_apH :: Nat.Parity))
    (@ (y_apI :: Nat.Parity))
    (dt_aqR :: x_apH ~ Nat.Flip y_apI)
    (dt_aqS :: y_apI ~ Nat.Flip x_apH)
    (dt_aqT :: Nat.ParNat x_apH) ->
    case dt_aqR of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqU ->
    case dt_aqS of _ { GHC.Types.Eq# dt_aqV ->
    Nat.PS
      @ (Nat.Flip x_apH)
      @ x_apH
      @ y_apI
      @~ <Nat.Flip x_apH>_N
      @~ dt_aqU
      @~ dt_aqV
      dt_aqT
    }
    }

Rec {
Nat.halve :: Nat.ParNat 'Nat.Even -> Nat.Nat
Nat.halve =
  \ (ds_dJB :: Nat.ParNat 'Nat.Even) ->
    case ds_dJB of _ {
      Nat.PZ dt_dKD -> Nat.Z;
      Nat.PS @ x_aIX @ y_aIY dt_dK6 dt1_dK7 dt2_dK8 a_apK ->
        case a_apK
             `cast` ((Nat.ParNat
                        (dt1_dK7
                         ; (Nat.Flip (dt2_dK8 ; Sym dt_dK6))_N
                         ; Nat.TFCo:R:Flip[0]))_R
                     :: Nat.ParNat x_aIX ~# Nat.ParNat 'Nat.Odd)
        of _
        { Nat.PS @ x1_aJ4 @ y1_aJ5 dt3_dKa dt4_dKb dt5_dKc b_apM ->
        Nat.S
          (Nat.halve
             (b_apM
              `cast` ((Nat.ParNat
                         (dt4_dKb
                          ; (Nat.Flip
                               (dt5_dKc
                                ; Sym dt3_dKa
                                ; Sym Nat.TFCo:R:Flip[0]
                                ; (Nat.Flip (dt_dK6 ; Sym dt2_dK8))_N
                                ; Sym dt1_dK7))_N
                          ; Sym dt_dK6))_R
                      :: Nat.ParNat x1_aJ4 ~# Nat.ParNat 'Nat.Even)))
        }
    }
end Rec }

Flip 유형 패밀리의 인스턴스를 통해 유형을 캐스팅하는 일반적인 흐름을 알고 있지만 완전히 따를 수없는 몇 가지 사항이 있습니다.

• 의 의미는 @~ <Nat.Flip x_apH>_N무엇입니까? x의 Flip 인스턴스입니까? 그게 어떻게 다릅니 @ (Nat.Flip x_apH)까? 나는 둘 다 관심이 < >있고_N

첫 캐스트 관련 halve:

• 무엇을 dt_dK6, dt1_dK7그리고 dt2_dK8약자? 나는 그것들이 일종의 동등성 증명이라는 것을 이해합니다. 그러나 어떤 것이 있습니까?
• 나는 Sym등가를 거꾸로 통과 한다는 것을 이해합니다.
• 의 역할은 무엇입니까 ;? 동등성 증명이 순차적으로 적용됩니까?
• 이것들 _N과 _R접미사 는 무엇입니까 ?
• 인가 TFCo:R:Flip[0]와 TFCo:R:Flip[1]플립의 경우?